¿Invención o descubrimiento?

La pregunta desvela a los científicos desde siempre: ¿por qué las matemáticas son tan eficientes para describir el funcionamiento de la naturaleza? ¿Serán los números el lenguaje en el que está diseñado el universo? ¿O solo se tratan de una maravillosa creación humana?

“La filosofía está escrita en ese vasto libro que tenemos abierto ante los ojos, el universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto”. Galileo Galilei

Allá por el año 340 a. C., el matemático griego Menecmo describió las secciones cónicas: figuras geométricas que, como la circunferencia, surgen de la intersección entre un cono y un plano. Unos 150 años más tarde, el astrónomo Apolonio de Perge les dio el nombre con el que las conocemos en la actualidad: elipse, parábola e hipérbola. Pero tuvieron que pasar más de dieciocho siglos de historia hasta que estas figuras nacidas de la investigación teórica –básica, diríamos ahora– encontraran una aplicación práctica.

En 1609, Johannes Kepler explicó que las órbitas de los planetas alrededor del Sol no eran circulares, como se creía hasta entonces, sino elípticas, y abrió el camino para que Isaac Newton desarrollara la ley de gravitación universal. Basándose en las leyes del movimiento planetario, Newton demostró que las trayectorias de dos cuerpos que interactúan gravitatoriamente corresponden exactamente a esas figuras descubiertas más de 2000 años antes.

Las secciones cónicas y el mismo Menecmo encontraban así, tarde pero seguro, su lugar en la historia de la ciencia.

De la teoría a la práctica

La historia da cuenta de numerosos desarrollos matemáticos que muchos años, e incluso siglos más tarde, resolvieron cuestiones abiertas de la física, la química o la biología. “Es frecuente que ideas que se desarrollan en pos de un objetivo puramente intelectual terminen teniendo usos prácticos inesperados, o que al demostrar una hipótesis se descubra algo que tenga aplicaciones reales”, asegura Pablo Shmerkin, ganador del premio estímulo Bunge & Born en matemática 2018.

Un ejemplo clásico es el de Godfrey Hardy, acaso el mayor exponente de la matemática “pura”, que se vanagloriaba de la aparente inutilidad de sus ideas. “Ninguno de mis descubrimientos ha supuesto ni supondrá diferencia alguna en el funcionamiento del mundo”, escribió en 1940 en su Apología de un matemático. Sin embargo, varias décadas después, sus aportes resultaron fundamentales para construir modelos y predicciones en una ciencia tan compleja como la genética poblacional.

“Las ideas de Hardy no parecían tener aplicaciones prácticas en su tiempo, pero terminaron siendo el fundamento de multiples teorías –señala Adrián Paenza–. Así funciona la ciencia, y también la relación entre las diferentes disciplinas: nadie sabe cuándo ni dónde ni cómo un razonamiento o una teoría elaborada en el pasado puede terminar teniendo utilidad en algún futuro que aún no llegó. Justamente por eso resulta esencial hacer investigación básica”, agrega el comunicador elegido por la Unión Matemática Internacional como ganador del premio Leelavati 2014 por su contribución a la divulgación de la ciencia.

La búsqueda de las verdades eternas

Ahora bien, ¿cuál es la manera de saber si un postulado matemático es intrínsecamente cierto? ¿Qué necesita una conjetura para ascender a la categoría de teorema? La clave es la demostración axiomática: la construcción sobre bases firmes. Los matemáticos hablan de ladrillos. Dicen que buscan levantar un edificio sólido de conocimiento teórico ideal. Que, para asegurarse de que no se desmorone, deben trabajar con demostraciones basadas en columnas que llaman axiomas. Que eso permite confiar en que cada nuevo bloque que se coloca en la estructura no desestabilice al conjunto. Y que por eso las matemáticas son lo que son: una construcción colectiva que la erosión no puede desgastar ni derrumbar.

La metáfora arquitectónica se impone. “Cuando se demuestra algo se parte de axiomas. Son los pilares que se dan por ciertos y que no necesitan demostración, simplemente se acepta que existen”, explica Paenza, maestro mayor de obras de esta disciplina acostumbrada a codearse con la eternidad. “Todo lo que se deduce mediante inferencias lógicas de ese andamiaje depende de la verdad de esos axiomas iniciales, y eso permite construir un edificio sólido. Una vez que aceptás los axiomas y construís tu castillo, va a ser verdadero para siempre”.

Dice Paenza que las verdades matemáticas son para siempre. Remarca esas palabras, las subraya. Y afirma que eso es lo que las hace diferentes de cualquier otra creación humana. Lo que las distingue de cualquier otra verdad. Para siempre.

“La fortaleza del método axiomático es que permite corroborar, en una cantidad finita de pasos, cualquier demostración. La axiomatización libra a las teorías de los peligros de la inconsistencia y posibilita hacer construcciones sólidas”, coincide y resume el escritor y matemático Guillermo Martínez.

Sin embargo, no todo es perfección. Ni siquiera en el mundo ideal de la matemática: incluso la estructura axiomática tiene sus limitaciones. “Para cualquier lista de axiomas propuesta, se puede exhibir un enunciado que no puede ni demostrarse ni refutarse a partir de esa lista. Esto fue demostrado por Gödel en su teorema de incompletitud, y llevó a una crisis en los fundamentos de la disciplina. La aritmética, que es el pilar elemental en que se confiaba cimentar todo el edificio de la matemática, no puede axiomatizarse por completo”, advierte el autor de Gödel para todos.

Pero la crisis de los fundamentos de las matemáticas es tema para otra nota. Como diría Fermat, el espacio en el margen de este blog no resulta suficiente para desarrollarlo adecuadamente.

En la realidad como en la ficción

Las olas arremeten contra la Estatua de la Libertad. El agua invade las calles de Manhattan, arrasando con todo a su paso, y destroza los ventanales de la Biblioteca Pública de Nueva York. Los efectos especiales de la película El día después de mañana deben su potencia apocalíptica a la eficiencia de uno de los grandes desafíos matemáticos abiertos: las ecuaciones de Navier-Stokes.

Este postulado forma parte de los selectos “problemas del milenio”: planteos que por el momento no han podido ser demostrados ni refutados. Sorprendemente, la eficiencia de la matemática es tal que incluso sus conjeturas sin resolución sirven para modelar la naturaleza.

En efecto, que todavía no tengan status de teorema no impide a los físicos aplicar este conjunto de ecuaciones para comprender cómo se comportan ciertos líquidos bajo determinadas condiciones. Ni desalienta a los ingenieros hidráulicos de utilizarlas en la construcción de puentes, represas y estructuras de protección costera, ya que permiten predecir con precisión el movimiento del oleaje en aguas poco profundas.

“No hay contradicción entre la falta de demostración en matemáticas y su aplicación –asegura el físico Andrés Rieznik–. Los físicos trabajamos con modelos que nos sirven para entender un problema particular. Para lo que necesitamos, las ecuaciones de Navier-Stokes funcionan perfectamente. Las aplicamos en un caso, y no nos importa si tienen una solución general o no”, agrega el conductor de La liga de la ciencia.

Y es que, como aclara Paenza, “los problemas no vienen con ‘etiquetas’: este problema es de física, este problema es de matemática o de química. Es un problema, a secas. Los matemáticos habían desarrollado la teoría de ecuaciones diferenciales muchísimo antes de que físicos e ingenieros las pusieran en práctica. Frente a los problemas, el hombre se especializa. Después, alguien con ojo clínico ve lo que otros no habían visto porque miraban por un agujerito muy chiquito y con una perspectiva demasiado focalizada. Y eso también es hacer ciencia”.

El lenguaje del Universo

Más allá de sus crisis fundamentales, sus problemas abiertos y sus paradojas, las matemáticas parecen sintetizar a la perfección el funcionamiento de la naturaleza. La serie de Fibonacci, presente en numerosas configuraciones biológicas, y la geometría fractal de Mandelbrot, que permite describir objetos muy disímiles hasta en sus más mínimos detalles, son solo algunos ejemplos de lo que el físico Eugene Wigner denominó “irrazonable eficacia de la matemática”.

“¿Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se ajuste de modo tan perfecto a los objetos de la realidad física?”, se preguntaba Albert Einstein. Igual que él, científicos de todos los tiempos se sorprendieron y maravillaron con la comprobación de que el mundo parece comportarse de acuerdo con patrones numéricos.

Es por eso que el debate entre los que creen que las matemáticas son un lenguaje inventado por el hombre y los que sostienen que es el código en el que se encuentra “diseñado” el Universo, y que la inteligencia humana no hace más que descubrirlo, se prolonga a lo largo de la historia.

“Las matemáticas son creaciones del hombre, pero los números naturales efectivamente se descubren –negocia Paenza–. Nadie aprende a contar con mitades, tercios o usando la longitud de una circunferencia, sino apilando cosas que se cuentan usando los dedos. Lo que viene después es creación humana, de la misma forma en que uno aprende un alfabeto y, usándolo, escribe obras como Shakespeare o Cortázar”.

Pero el docente que logró que miles de lectores y televidentes le perdieran el miedo a la palabra “matemática” admite que le cuesta encontrar una respuesta. “Si tuviera que elegir, diría que el hombre ‘crea’ la matemática mientras la produce, la inventa, la modifica y la adapta. En ese sentido, también hay momentos de descubrimiento. Pero no porque ya estuviera creada, sino porque nosotros mismos la vamos descubriendo en función de las nuevas herramientas que desarrollamos”.

Tal como recuerda Martínez, parte de la eficiencia de las matemáticas se debe a que su origen se encuentra justamente en el intento de explicar de manera teórica la realidad natural. Es por eso, asegura, que en el desarrollo histórico de la disciplina se juega una mezcla casi indistinguible de invención y descubrimiento.

“Una parte de las matemáticas, como la abstracción de ciclos, patrones, medidas, repeticiones y regularidades, proviene de la observación. Las matemáticas comienzan a partir de eso, que es descubierto –señala el escritor–. Luego el hombre inventa nociones, objetos ideales. Y a partir de esos objetos se crean teorías y definiciones que dan lugar a nuevos desarrollos que ya no tienen puntos de contacto con lo real; son puramente lógicos. Lo llamativo es que la matemática teórica que hacemos los seres humanos efectivamente tiene su correlato en la física real”, reconoce con admiración.

Pero, si la matemática se inventa de manera lógica a partir de una base que se descubre en la naturaleza, ¿por qué se llega a conclusiones convergentes que describen tan eficientemente la forma y el funcionamiento del mundo?

Para Shmerkin, “la invención puramente teórica no existe, y eso se evidencia en que hay una tendencia universal hacia ciertas ideas recurrentes. La pregunta es por qué, dentro de las múltiples posibilidades de búsqueda matemática, distintas personas o civilizaciones terminan escarbando en el mismo rincón de verdades. Hoy sabemos que el teorema de Pitágoras fue descubierto por varias culturas de manera independiente. Esa es la diferencia entre la creación matemática y la creación artística: si Riemann no hubiera planteado su conjetura, tarde o temprano lo habría hecho otro. En cambio, si Cervantes no hubiera escrito El Quijote, ese libro no habría existido jamás”.

A hombros de gigantes

“Si he llegado a ver más lejos que otros es porque me subí a hombros de gigantes”, escribió célebremente Newton. Las secciones cónicas, esas figuras geométricas descriptas hace más de 2000 años por un matemático que creía que la Tierra se encontraba en el centro del Universo, se utilizan actualmente en astronomía y en numerosas aplicaciones cotidianas de la arquitectura, la aerodinámica y la ingeniería.

Gracias al conocimiento profundo del movimiento planetario y la gravitación, la humanidad logró enviar naves espaciales más allá de los límites del Sistema Solar. Si los seres humanos nos convertimos, en palabras de Carl Sagan, en “la manera en que el cosmos se conoce a sí mismo”, se lo debemos sin dudas a nuestra capacidad de entender y transmitir ese conocimiento.

Inventadas o descubiertas, las matemáticas fueron la llave que abrió las puertas de esa comprensión. Acaso sean ambas cosas. Descubiertas, porque son la herramienta más eficaz que encontramos para descifrar, abstraer y sistematizar los misterios de la naturaleza. Inventadas, porque son el lenguaje y la construcción teórica que creamos de manera colectiva y a través de los siglos para entender, explicarnos y predecir cómo funciona esa fascinante y compleja realidad que nos rodea.

Quién es quién

· Pablo Shmerkin. Doctor en matemática. Investigador de CONICET y profesor investigador de la Universidad Torcuato Di Tella.

· Adrián Paenza. Doctor en matemática. Periodista. Su último libro es ¡Peligro! Matemática explícita (Editorial Sudamericana, 2019).

· Guillermo Martínez. Doctor en lógica. Escritor. Su última novela es Los crímenes de Alicia (Editorial Planeta, 2019).

· Andrés Rieznik. Doctor en Física. Investigador de CONICET y profesor de las Universidades Favaloro y Torcuato Di Tella. Su último libro es Tabú (ABRE, 2020).